435. Известно, что a, b, √ab — рациональные числа. Верно ли утверждение, что рациональным является также число: а) (√a−√b)(2√a+3√b); б) √(a/b); в) (√a−√b)/(√a+√b)?

а) Раскроем скобки: \((\sqrt a-\sqrt b)(2\sqrt a+3\sqrt b)=2a+\sqrt{ab}-3b\). Все слагаемые рациональны, значит, выражение рационально.

б) При b ≠ 0 имеем \(\sqrt{a/b}=\sqrt{ab}/b\), поскольку \(\sqrt{ab}/b\) не всегда равняется этому корню при отрицательном b. С учётом существования действительных корней и a,b ≥ 0, b>0: \(\sqrt{a/b}=\sqrt{ab}/b\), поэтому число рационально.

в) Утверждение неверно. Например, a=2 и b=1: условия выполнены, так как √ab=√2 — но это не рационально, значит, этот пример не подходит. Возьмём a=1, b=4: \((1-2)/(1+2)=-1/3\), рационально. Для данных условий, если a,b положительны и √ab рационально, отношение \(\sqrt a/\sqrt b\) рационально только при дополнительных ограничениях; однако выражение можно записать как \((a-\sqrt{ab})/(a+\sqrt{ab})\), если a>0, и оно рационально. Следовательно, верно.

Ответ: а), б) и в) — рациональные (для б) и в) при существующих выражениях, то есть при ненулевых знаменателях).