436. Известно, что x, y, √x−√y — рациональные числа. Докажите, что √x и √y также являются рациональными числами.

Обозначим \(u=\sqrt x\), \(v=\sqrt y\), а \(r=u-v\). По условию x, y и r рациональны.

Так как \(r^2=(u-v)^2=x+y-2uv\), получаем \(uv=(x+y-r^2)/2\), то есть uv рационально.

Теперь \(u+v\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \((u+v)^2=x+y+2uv\), рациональному числу. Однако из рациональности квадрата самой по себе рациональность числа не следует. Вместе с рациональностью разности это даёт систему: \(u-v=r\), а \(u^2-v^2=x-y\). Если r ≠ 0, то \(u+v=(x-y)/r\) рационально, откуда \(u=((u+v)+r)/2\) и \(v=((u+v)-r)/2\) рациональны.

Если r=0, то u=v, следовательно, x=y, но это не гарантирует, что √x рационально. Например, x=y=2: условие выполнено, а √2 иррационально. Значит, утверждение в приведённом виде неверно без дополнительного условия \(\sqrt x-\sqrt y\ne0\).

Ответ: утверждение неверно при √x−√y=0; если √x−√y ≠ 0, доказательство приведено выше.