449. Какова степень многочлена: а) 3x⁸ − x³ − x⁸ + 6x − 2x⁸ − 1; б) xy + 12x⁵y − 10x⁵y − 6 − 2x⁵y; в) 4x³ − 2x² + 3 − 4x³ + 2x²; г) 2x − 2xy² + 2y − x − y + 2xy² + 3; д) x²y − xy² − x²y + xy²; е) −xⁿyᵐ + xⁿ⁻¹yᵐ⁺¹ − xⁿ⁻²yᵐ⁺² + 5xy − 5, где n, m ∈ ℕ и n > 2, m > 2?

Сначала приведём подобные члены; степень многочлена — наибольшая сумма показателей степеней переменных в оставшихся членах.

1. а) Члены с \(x^8\) сокращаются: \((3-1-2)x^8-x^3+6x-1=-x^3+6x-1\). Степень равна 3.
2. б) Члены с \(x^5y\) сокращаются: \(xy-6\). Степень равна 2.
3. в) Члены с \(x^3\) и \(x^2\) сокращаются; остаётся 3. Степень равна 0.
4. г) Члены с \(xy^2\) сокращаются; остаётся \(x+y+3\). Степень равна 1.
5. д) Все члены сокращаются, получается нулевой многочлен. Его степень не определена.
6. е) Суммы показателей степеней в первых трёх членах равны \(n+m\). Поскольку \(n>2\) и \(m>2\), имеем \(n+m>4\), поэтому члены \(5xy\) и \(-5\) не влияют на степень. Степень равна \(n+m\).

Ответ: а) 3; б) 2; в) 0; г) 1; д) степень не определена; е) \(n+m\).