48. Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны \(2\sqrt{3}\) и \(5\), а угол между ними равен \(150^{\circ}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Решение:

Скалярное произведение векторов находится по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha\).

Подставим известные значения:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos 150^{\circ}\)

Найдём значение \(\cos 150^{\circ}\): \(\cos 150^{\circ} = -\cos (180^{\circ} - 150^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь вычислим скалярное произведение:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 10\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{10 \cdot 3}{2} = -15\)

Ответ: -15