48. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, является квадратом.

Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке O. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB = OC = OD.

По условию диагонали перпендикулярны, значит угол AOB прямой. Треугольник AOB — равнобедренный прямоугольный, поэтому его катеты OA и OB равны. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке O, следовательно, противоположные стороны этого четырёхугольника образуют ромб; равенство диагоналей прямоугольника даёт равенство его сторон. Итак, прямоугольник является ромбом, а прямоугольник, являющийся ромбом, — квадратом.

Ответ: данный прямоугольник — квадрат.