51. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 18 см. Квадрат построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите сторону квадрата.

Формулировка допускает два расположения квадрата: его сторона может лежать на гипотенузе либо на гипотенузе лежит диагональ квадрата. Для обоих вариантов найдём сторону.

1-й вариант: сторона квадрата лежит на гипотенузе. Пусть длина катета треугольника равна a. Из теоремы Пифагора a√2 = 18, поэтому a = 9√2. Пусть сторона квадрата равна x. На расстоянии x от гипотенузы ширина треугольника, параллельная гипотенузе, уменьшается от 18 до 18 − x√2. Эта ширина равна стороне квадрата: x = 18 − x√2. Отсюда x = 18/(1 + √2) = 18(√2 − 1) см.

2-й вариант: диагональ квадрата лежит на гипотенузе. Тогда две вершины квадрата на гипотенузе — концы его диагонали, а две остальные вершины лежат на катетах. Диагональ квадрата равна 18 см, поэтому сторона квадрата равна 18/√2 = 9√2 см.

Ответ: при стороне квадрата на гипотенузе — 18(√2 − 1) см; при диагонали квадрата на гипотенузе — 9√2 см.