49. Дано: AB = BC = KC, KM = MB, ∠A = 42°. Найти: ∠1.

Из AB = BC следует, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Поэтому \(\angle ACB=\angle A=42°\). Поскольку K лежит на AC, \(\angle BCK=42°\).

В треугольнике BKC равны стороны BC и KC, поэтому он равнобедренный. KM = MB означает, что M — середина BK; отрезок CM — медиана к основанию BK. В равнобедренном треугольнике такая медиана является биссектрисой угла при вершине C. Значит, отмеченный угол равен \(42°:2=21°\).

Ответ: 21°.