50. Дано: MB = CB = AM, ∠C = 78°. Найти: ∠AMK.

Используем отметки на рисунке: K — середина AB, то есть AK = KB. Так как M лежит на AC, угол BCM равен углу C и составляет 78°. В треугольнике MBC равны MB и BC, поэтому \(\angle BMC=78°\), а \(\angle MBC=180°-78°-78°=24°\).

Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому \(\angle AMB=180°-\angle BMC=102°\). В треугольнике AMB равны AM и MB, следовательно, \(\angle MAB=\angle ABM=(180°-102°):2=39°\).

Поскольку K — середина основания AB равнобедренного треугольника AMB, MK — биссектриса угла AMB. Тогда \(\angle AMK=102°:2=51°\).

Ответ: 51°.

Если на исходном рисунке не подразумевается, что AK = KB, данных для нахождения ∠AMK недостаточно: положение K на AB не задано.