49. Решить неравенства: 1) 3^{2x+2} + 3^{x−1} < 28; 2) 2^{x−1} + 2^{x+3} > 17; 3) 2^{2x−1} + 2^{2x−2} + 2^{2x−3} ≥ 448; 4) 5^{3x+1} − 5^{3x−3} < 624.

Question

Вопрос: $Фото задания: 49. Решить неравенства: 1) 3^{2x+2} + 3^{x−1} < 28; 2) 2^{x−1} + 2^{x+3} > 17; 3) 2^{2x−1} + 2^{2x−2} + 2^{2x−3} ≥ 448; 4)…$ Фото задания

49. Решить неравенства: 1) 3^{2x+2} + 3^{x−1} < 28; 2) 2^{x−1} + 2^{x+3} > 17; 3) 2^{2x−1} + 2^{2x−2} + 2^{2x−3} ≥ 448; 4) 5^{3x+1} − 5^{3x−3} < 624.

Accepted Answer

Пусть $t=3^{x-1}>0$. Тогда $3^{2x+2}=81t^2$, и неравенство принимает вид $81t^2+t-28<0$. Положительный корень соответствующего квадратного трёхчлена равен $(\sqrt{9073}-1)/162$, отрицательный корень не подходит, поскольку $t>0$. Поэтому $3^{x-1}< (\sqrt{9073}-1)/162$, откуда $x<1+\log_3((\sqrt{9073}-1)/162)$.
Вынесем $2^{x-1}$: $2^{x-1}(1+2^4)>17$, то есть $17\cdot2^{x-1}>17$. Значит, $2^{x-1}>1$, откуда $x>1$.
Вынесем $2^{2x-3}$: $2^{2x-3}(4+2+1)\ge448$. Следовательно, $2^{2x-3}\ge64=2^6$, поэтому $2x-3\ge6$ и $x\ge9/2$.
Вынесем $5^{3x-3}>0$: $5^{3x-3}(5^4-1)<624$. Так как $5^4-1=624$, получаем $5^{3x-3}<1=5^0$, значит $x<1$.

Ответ: 1) $x<1+\log_3((\sqrt{9073}-1)/162)$; 2) $x>1$; 3) $x\ge9/2$; 4) $x<1$.