50. Найти целые решения неравенств на отрезке [−3; 3]: 1) 9^x − 3^x − 6 > 0; 2) 4^x − 2^x < 12; 3) 5^{2x+1} + 4·5^x − 1 > 0; 4) 3·9^x + 11·3^x < 4.

Question

Вопрос: $Фото задания: 50. Найти целые решения неравенств на отрезке [−3; 3]: 1) 9^x − 3^x − 6 > 0; 2) 4^x − 2^x < 12; 3) 5^{2x+1} + 4·5^x − 1 >…$ Фото задания

50. Найти целые решения неравенств на отрезке [−3; 3]: 1) 9^x − 3^x − 6 > 0; 2) 4^x − 2^x < 12; 3) 5^{2x+1} + 4·5^x − 1 > 0; 4) 3·9^x + 11·3^x < 4.

Accepted Answer

Пусть $t=3^x>0$. Тогда $t^2-t-6>0$, то есть $(t-3)(t+2)>0$. С учётом $t>0$ получаем $t>3$, значит $x>1$. На отрезке $[-3,3]$ целые решения: $2,3$.
Пусть $t=2^x>0$. Имеем $t^2-t<12$, то есть $(t-4)(t+3)<0$. С учётом $t>0$ получаем $t<4=2^2$, поэтому $x<2$. На заданном отрезке целые решения: $-3,-2,-1,0,1$.
Пусть $t=5^x>0$. Тогда $5t^2+4t-1>0$, или $(5t-1)(t+1)>0$. Поскольку $t+1>0$, получаем $t>1/5=5^{-1}$, значит $x>-1$. На заданном отрезке целые решения: $0,1,2,3$.
Пусть $t=3^x>0$. Тогда $3t^2+11t-4<0$, то есть $(3t-1)(t+4)<0$. Поскольку $t+4>0$, получаем $t<1/3=3^{-1}$, значит $x<-1$. На заданном отрезке целые решения: $-3,-2$.

Ответ: 1) $2,3$; 2) $-3,-2,-1,0,1$; 3) $0,1,2,3$; 4) $-3,-2$.