4а. В прямоугольнике PTKX точка O является точкой пересечения диагоналей. ∠PXT = 30°, TX = 82 см. Найдите углы и периметр треугольника POT.

В треугольнике PXT угол X равен \(30^\circ\), а угол P прямой. Поэтому:

\(\angle PTX=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

Так как диагональ прямоугольника \(TX=82\) см, а точка O делит диагональ пополам:

\(TO=PO=82:2=41\) см.

В прямоугольнике сторона \(PT\), лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы:

\(PT=82:2=41\) см.

Следовательно, \(PO=OT=PT=41\) см, поэтому треугольник POT равносторонний.

\(\angle POT=\angle OPT=\angle PTO=60^\circ\).

Периметр:

\(P_{\triangle POT}=3\cdot41=123\) см.

Ответ: все углы треугольника POT равны \(60^\circ\), периметр — 123 см.