5*. Найдите \int \sqrt{4x + 5} dx; \int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}

1. **Вычислим интеграл** \int \sqrt{4x + 5} dx. Пусть u = 4x + 5, тогда du = 4 dx, и dx = \frac{1}{4} du. Тогда интеграл примет вид: \int \sqrt{u} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{1/2} du = \frac{1}{4} * \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{4} * \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{6} (4x + 5)^{3/2} + C **Ответ:** \frac{1}{6} (4x + 5)^{3/2} + C. 2. **Вычислим интеграл** \int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}. Заметим, что интеграл похож на табличный интеграл арксинуса: \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = arcsin(x) + C. Преобразуем интеграл: \int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{1-(2x)^2}}. Пусть u = 2x, тогда du = 2 dx, и dx = \frac{1}{2} du. Тогда интеграл примет вид: \int \frac{\frac{1}{2} du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2} arcsin(u) + C = \frac{1}{2} arcsin(2x) + C. **Ответ:** \frac{1}{2} arcsin(2x) + C.