5. (1 балл) Решите уравнение: (1/2)^x+1 = (1/8)^x-1

Решение:

Чтобы решить это показательное уравнение, приведём обе части к одному основанию. Заметим, что \( \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \).

Подставим это в уравнение:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{x-1} \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3(x-1)} \]

Теперь, когда основания равны, приравняем показатели степеней:

\[ x+1 = 3(x-1) \]

Раскроем скобки:

\[ x+1 = 3x - 3 \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 1 + 3 = 3x - x \]

\[ 4 = 2x \]

Разделим обе части на 2:

\[ x = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ: 2