5. (1 балл) Решите уравнение. \((\frac{1}{8})^{2x+5} = (\frac{1}{32})^{5x-1}\)

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что \(8 = 2^3\) и \(32 = 2^5\).

\((\frac{1}{2^3})^{2x+5} = (\frac{1}{2^5})^{5x-1}\)

\((2^{-3})^{2x+5} = (2^{-5})^{5x-1}\)

Используя свойство \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\(2^{-3(2x+5)} = 2^{-5(5x-1)}\)

\(2^{-6x-15} = 2^{-25x+5}\)

Приравниваем показатели степеней:

\(-6x - 15 = -25x + 5\)

Переносим члены с \(x\) в одну сторону, а числа — в другую:

\(-6x + 25x = 5 + 15\)

\(19x = 20\)

\(x = \frac{20}{19}\)

Ответ: \(x = \frac{20}{19}\).