8. (1 балл) Решите уравнение. \(\log_{1/2} (x+1) = 3\)

Решение:

Перейдем от логарифмического уравнения к показательному. По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\).

В нашем случае \(a = \frac{1}{2}\), \(b = x+1\), \(c = 3\).

Следовательно:

\((\frac{1}{2})^3 = x+1\)

Вычислим \((\frac{1}{2})^3\):

\((\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}\)

Получаем уравнение:

\(\frac{1}{8} = x+1\)

Теперь решим его:

\(x = \frac{1}{8} - 1\)

\(x = \frac{1}{8} - \frac{8}{8}\)

\(x = -\frac{7}{8}\)

Проверим ОДЗ: \(x+1 > 0\) => \(-\frac{7}{8}+1 > 0\) => \(\frac{1}{8} > 0\). Условие выполняется.

Ответ: \(x = -\frac{7}{8}\).