5.10. Точки E и F — середины соответственно боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Прямая EF лежит в плоскости α, отличной от плоскости трапеции. Докажите, что прямые AD и BC параллельны плоскости α.

Пусть β — плоскость трапеции ABCD. По свойству трапеции отрезок, соединяющий середины её боковых сторон, параллелен основаниям: EF∥AD и EF∥BC.

Плоскости α и β различны, а EF является их линией пересечения, поскольку EF лежит в обеих плоскостях. Прямая AD лежит в β и параллельна EF, поэтому она не пересекает α: иначе точка пересечения принадлежала бы β∩α=EF, что противоречит AD∥EF. Следовательно, AD∥α. Аналогично BC∥α.

Доказано: AD∥α и BC∥α.