5. 2(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 – ? Illustration of two intersecting lines forming angles labeled 1, 2, 3, 4. Angles 1 and 3 are vertical angles. Angles 2 and 4 are vertical angles. Angles 1 and 2 are adjacent.

Разбираемся с задачей №5:

У нас опять две пересекающиеся прямые. Углы 1 и 3 – вертикальные, значит, равны. Углы 2 и 4 – тоже вертикальные, значит, равны. Дано соотношение: 2(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4.

1. Свойства вертикальных углов: \( \angle 1 = \angle 3 \) и \( \angle 2 = \angle 4 \).
2. Подставляем в уравнение: Так как \( \angle 1 = \angle 3 \), то \( \angle 1 + \angle 3 = 2\angle 1 \). Так как \( \angle 2 = \angle 4 \), то \( \angle 2 + \angle 4 = 2\angle 2 \).
3. Упрощаем уравнение: \( 2(2\angle 1) = 2\angle 2 \) => \( 4\angle 1 = 2\angle 2 \) => \( \angle 2 = 2\angle 1 \).
4. Смежные углы: Углы 1 и 2 – смежные, их сумма равна 180°. \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).
5. Решаем систему: Подставляем \( \angle 2 = 2\angle 1 \) в уравнение смежных углов: \( \angle 1 + 2\angle 1 = 180^{\circ} \) => \( 3\angle 1 = 180^{\circ} \) => \( \angle 1 = 60^{\circ} \).
6. Находим остальные углы:
   \( \angle 3 = \angle 1 = 60^{\circ} \)
   \( \angle 2 = 2\angle 1 = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \)
   \( \angle 4 = \angle 2 = 120^{\circ} \)

Ответ: ∠1 = 60°, ∠2 = 120°, ∠3 = 60°, ∠4 = 120°