6. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 5∠4 ∠4 – ? Illustration of two intersecting lines forming angles labeled 1, 2, 3, 4. Angles 1 and 3 are vertical angles. Angles 2 and 4 are vertical angles. Angles 1 and 2 are adjacent.

Решаем задачу №6:

Опять две пересекающиеся прямые. Углы 1 и 3 – вертикальные (равны). Углы 2 и 4 – вертикальные (равны). Также дано, что сумма углов 1, 2, 3 равна пяти углам 4.

1. Свойства вертикальных углов: \( \angle 1 = \angle 3 \) и \( \angle 2 = \angle 4 \).
2. Подставляем в уравнение: \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 5\angle 4 \) => \( \angle 3 + \angle 2 + \angle 3 = 5\angle 4 \) (заменяем ∠1 на ∠3).
3. Упрощаем: \( 2\angle 3 + \angle 2 = 5\angle 4 \).
4. Смежные углы: Углы 1 и 2 – смежные, \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). Углы 2 и 3 – смежные, \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).
5. Выражаем через ∠4: Так как \( \angle 2 = \angle 4 \) и \( \angle 3 = \angle 1 \), и \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \), то \( \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ} \).
6. Подставляем в исходное уравнение: \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 5\angle 4 \) => \( \angle 3 + \angle 4 + \angle 3 = 5\angle 4 \) (заменяем ∠1 на ∠3).
7. Снова упрощаем: \( 2\angle 3 + \angle 4 = 5\angle 4 \) => \( 2\angle 3 = 4\angle 4 \) => \( \angle 3 = 2\angle 4 \).
8. Используем смежные углы: Мы знаем, что \( \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ} \). Подставляем \( \angle 3 = 2\angle 4 \): \( 2\angle 4 + \angle 4 = 180^{\circ} \) => \( 3\angle 4 = 180^{\circ} \) => \( \angle 4 = 60^{\circ} \).

Ответ: ∠4 = 60°