5) \(2\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt{2}=0\)

Используем тождество \(\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x\):

\(2\cos x+\sqrt{2}=0\), поэтому \(\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Такое значение косинус принимает при \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Ответ: \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).