5.2 Треугольник \(ABC\) — равносторонний со стороной 2. Найдите: а) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\). Осторожно: в б) сначала отложите векторы от одной точки.

В равностороннем треугольнике все стороны равны 2, а каждый внутренний угол равен \(60^\circ\).

1. а) Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) — угол \(A\), то есть \(60^\circ\). Поэтому \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot2\cdot\cos60^\circ=2\).
2. б) Перенесём векторы параллельно так, чтобы их начала совпали. Угол между направлениями \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равен \(120^\circ\): направление второго вектора противоположно направлению \(\overrightarrow{CB}\). Тогда \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2\cdot2\cdot\cos120^\circ=-2\).

Ответ: а) 2; б) −2.