5.6 Вернитесь к треугольнику из задания 2.4: $A(-3;1)$, $B(1;4)$, $C(4;0)$. С помощью скалярного произведения докажите, что $\angle B=90^\circ$, и найдите $\angle A$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5.6 Вернитесь к треугольнику из задания 2.4: $A(-3;1)$, $B(1;4)$, $C(4;0)$. С помощью скалярного произведения докажите,…$ Фото задания

5.6 Вернитесь к треугольнику из задания 2.4: $A(-3;1)$, $B(1;4)$, $C(4;0)$. С помощью скалярного произведения докажите, что $\angle B=90^\circ$, и найдите $\angle A$.

Accepted Answer

Найдём векторы, образующие угол при вершине $B$: $\overrightarrow{BA}=A-B=(-3-1;1-4)=(-4;-3)$, $\overrightarrow{BC}=C-B=(4-1;0-4)=(3;-4)$.

Их скалярное произведение: $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)\cdot3+(-3)\cdot(-4)=-12+12=0$. Значит, векторы перпендикулярны и $\angle B=90^\circ$.

Для угла $A$: $\overrightarrow{AB}=(4;3)$, $\overrightarrow{AC}=(7;-1)$. Тогда $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot7+3\cdot(-1)=25$, $|\overrightarrow{AB}|=5$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{50}=5\sqrt2$. Следовательно, $\cos A=\frac{25}{5\cdot5\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}$, поэтому $\angle A=45^\circ$.

Ответ: $\angle B=90^\circ$, $\angle A=45^\circ$.

5.6 Вернитесь к треугольнику из задания 2.4: \(A(-3;1)\), \(B(1;4)\), \(C(4;0)\). С помощью скалярного произведения докажите, что \(\angle B=90^\circ\), и найдите \(\angle A\).

Ответ: