5.8. Докажите свойства модуля действительного числа: а) \(|a|\ge a\); б) \(-|a|\le a\le |a|\); в) \(|a|>a\iff a<0\); г) \(|a|+|b|+|c|=0\iff a=b=c=0\).

1. а) По определению \(|a|=a\), если \(a\ge0\), и \(|a|=-a\), если \(a<0\). В первом случае \(|a|=a\), во втором \(-a>a\). Следовательно, \(|a|\ge a\).
2. Из а), применённого к \(a"): \(|a|\ge a\). Также \(|a|\ge -a\), поскольку это свойство а) для числа \(-a\). Значит, \(-|a|\le a\le |a|\).
3. Если \(a<0\), то \(|a|=-a>a\). Если \(a\ge0\), то \(|a|=a\), и строгого неравенства нет. Поэтому \(|a|>a\iff a<0\).
4. Каждый модуль неотрицателен. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из модулей равен нулю, то есть \(a=b=c=0\).

Ответ: все указанные свойства доказаны.