5. ABCD — параллелограмм. Точки E и P лежат на диагонали AC, BE ⟂ AC, DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда O — середина диагоналей AC и BD.

При центральной симметрии относительно O точка B переходит в D, а прямая AC остаётся на месте. Поэтому основание перпендикуляра из B на AC, то есть E, переходит в основание перпендикуляра из D на AC, то есть P. Значит, O — середина EP.

Так как O — середина AC и EP, точки A и C, а также P и E симметричны относительно O. Поэтому расстояния от A до P и от C до E равны:

\(AP=CE\).

Ответ: \(AP=CE\).