5. ABCD — трапеция, AD = 30, ∠ABD = 90°, ∠BDC = 30°, BC ⟂ CD. Найти BC.

Так как \(AD\parallel BC\) и \(BC\perp CD\), то \(AD\perp CD\).

1. В прямоугольном треугольнике ABD: \(\angle ABD=90^\circ\). Поскольку \(\angle BDC=30^\circ\), угол между DB и AD равен \(60^\circ\). Значит, \(\triangle ABD\) — треугольник \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), где \(AD=30\) — гипотенуза.
2. Сторона, лежащая напротив угла \(60^\circ\), равна \(BD=30\sin60^\circ=15\sqrt3\).
3. В прямоугольном треугольнике BCD угол D равен \(30^\circ\), поэтому сторона, противолежащая этому углу, равна половине гипотенузы: \[BC=\frac{BD}{2}=\frac{15\sqrt3}{2}.\]

Ответ: \(BC=\frac{15\sqrt3}{2}\).