5. Автомобиль массой 5 т едет по горизонтальному пути. Коэффициент трения 0,2. За 6 с скорость автомобиля возросла от 32,4 до 75,6 км/ч. Какую работу совершает двигатель автомобиля при этом спуске?

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти суммарную силу, действующую на автомобиль, а затем работу этой силы. Работа двигателя будет равна изменению кинетической энергии плюс работе силы трения.

Сначала переведем все единицы в систему СИ:

• Масса автомобиля: \[ m = 5 \text{ т} = 5000 \text{ кг} \]
• Коэффициент трения: \[ \mu = 0.2 \]
• Начальная скорость: \[ v_1 = 32.4 \text{ км/ч} \]
• Конечная скорость: \[ v_2 = 75.6 \text{ км/ч} \]
• Время: \[ t = 6 \text{ с} \]

Переведем скорости из км/ч в м/с:

\[ v_1 = 32.4 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot \frac{1000 \text{ м}}{1 \text{ км}} \cdot \frac{1 \text{ ч}}{3600 \text{ с}} = \frac{32.4 \cdot 1000}{3600} \text{ м/с} = 9 \text{ м/с} \]

\[ v_2 = 75.6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot \frac{1000 \text{ м}}{1 \text{ км}} \cdot \frac{1 \text{ ч}}{3600 \text{ с}} = \frac{75.6 \cdot 1000}{3600} \text{ м/с} = 21 \text{ м/с} \]

Найдем ускорение автомобиля:

\[ a = \frac{v_2 - v_1}{t} = \frac{21 \text{ м/с} - 9 \text{ м/с}}{6 \text{ с}} = \frac{12 \text{ м/с}}{6 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}^2 \]

Сила трения:

\[ F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g \]

Примем g ≈ 9.8 м/с².

\[ F_{тр} = 0.2 \cdot 5000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 9800 \text{ Н} \]

Сила, которую развивает двигатель (F_{двиг}), сообщает автомобилю ускорение, а сила трения тормозит его. По второму закону Ньютона:

\[ F_{двиг} - F_{тр} = m \cdot a \]

Найдем силу, развиваемую двигателем:

\[ F_{двиг} = m \cdot a + F_{тр} \]

\[ F_{двиг} = 5000 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}^2 + 9800 \text{ Н} \]

\[ F_{двиг} = 10000 \text{ Н} + 9800 \text{ Н} = 19800 \text{ Н} \]

Теперь найдем работу, совершенную двигателем. Работа равна произведению силы двигателя на пройденное расстояние. Найдем расстояние, используя формулу:

\[ s = v_1 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \]

\[ s = 9 \text{ м/с} \cdot 6 \text{ с} + \frac{2 \text{ м/с}^2 \cdot (6 \text{ с})^2}{2} \]

\[ s = 54 \text{ м} + \frac{2 \text{ м/с}^2 \cdot 36 \text{ с}^2}{2} \]

\[ s = 54 \text{ м} + 36 \text{ м} = 90 \text{ м} \]

Работа двигателя:

\[ A_{двиг} = F_{двиг} \cdot s \]

\[ A_{двиг} = 19800 \text{ Н} \cdot 90 \text{ м} \]

\[ A_{двиг} = 1782000 \text{ Дж} = 1782 \text{ кДж} \]

Если принять g = 10 м/с²:

Fтр = 0.2 * 5000 кг * 10 м/с² = 10000 Н

Fдвиг = 5000 кг * 2 м/с² + 10000 Н = 10000 Н + 10000 Н = 20000 Н

s = 9 м/с * 6 с + (2 м/с² * 6² с²) / 2 = 54 м + 36 м = 90 м

Aдвиг = 20000 Н * 90 м = 1800000 Дж = 1800 кДж

Ответ: Работа, совершенная двигателем автомобиля, составляет примерно 1782 кДж (или 1800 кДж при g=10 м/с²).