5. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

1. Пусть собственная скорость баржи равна \( v \) км/ч.
2. Скорость баржи по течению: \( v+5 \) км/ч.
3. Скорость баржи против течения: \( v-5 \) км/ч.
4. Время движения по течению: $$t_1 = \frac{32}{v+5}$$ часа.
5. Время движения против течения: $$t_2 = \frac{24}{v-5}$$ часа.
6. Общее время в пути: $$t_1 + t_2 = 4$$ часа.
   $$\frac{32}{v+5} + \frac{24}{v-5} = 4$$
7. Решим уравнение:
   Умножим обе части на $$(v+5)(v-5)$$:
   $$32(v-5) + 24(v+5) = 4(v^2 - 25)$$
   $$32v - 160 + 24v + 120 = 4v^2 - 100$$
   $$56v - 40 = 4v^2 - 100$$
   $$4v^2 - 56v - 60 = 0$$
   Разделим на 4:
   $$v^2 - 14v - 15 = 0$$
8. Найдем корни квадратного уравнения:
   $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$$
   $$v_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$
   $$v_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$.
9. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $$v = 15$$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч.