5) $\begin{cases}x^2-5y^2=-1,\\3xy+7y^2=1;\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) $\begin{cases}x^2-5y^2=-1,\\3xy+7y^2=1;\end{cases}$$ Фото задания

Accepted Answer

Из первого уравнения выразим $x^2=5y^2-1$, а из второго $xy=\dfrac{1-7y^2}{3}$.

Используем равенство $(xy)^2=x^2y^2$:

$\dfrac{(1-7y^2)^2}{9}=y^2(5y^2-1)$.

Положим $z=y^2$. Тогда $(1-7z)^2=9z(5z-1)$, откуда $4z^2-5z+1=0$.

Следовательно, $z=1$ или $z=\dfrac14$.

Если $y^2=1$, то $x^2=4$, а $xy=-2$. Получаем $(-2;1)$, $(2;-1)$.
Если $y^2=\dfrac14$, то $x^2=\dfrac14$, а $xy=-\dfrac14$. Получаем $\left(\dfrac12;-\dfrac12\right)$, $\left(-\dfrac12;\dfrac12\right)$.

Ответ: $(-2;1)$, $(2;-1)$, $\left(\frac12;-\frac12\right)$, $\left(-\frac12;\frac12\right)$.

5) \(\begin{cases}x^2-5y^2=-1,\\3xy+7y^2=1;\end{cases}\)