6) \(\begin{cases}x^2-y^2=3,\\x^3-y^3=7(x-y).\end{cases}\)

Так как \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)=3\), то \(x-y\ne0\). Во втором уравнении разложим левую часть:

\((x-y)(x^2+xy+y^2)=7(x-y)\).

Сокращаем на \(x-y\): \(x^2+xy+y^2=7\).

Обозначим \(s=x+y\), \(d=x-y\). Тогда \(sd=3\), а \(x^2+xy+y^2=\dfrac{3s^2+d^2}{4}\). Поэтому

\(\dfrac{3s^2+d^2}{4}=7\), \(d=\dfrac3s\).

Получаем \(3s^2+\dfrac9{s^2}=28\). При \(t=s^2\): \(3t^2-28t+9=0\), откуда \(t=9\) или \(t=\dfrac13\).

При \(s=3\), \(d=1\): \((x,y)=(2,1)\). При \(s=-3\), \(d=-1\): \((x,y)=(-2,-1)\).

При \(s=\dfrac1{\sqrt3}\), \(d=\sqrt3\): \((x,y)=\left(\dfrac2{\sqrt3},-\dfrac1{\sqrt3}\right)\). При противоположных значениях получаем \(\left(-\dfrac2{\sqrt3},\dfrac1{\sqrt3}\right)\).

Ответ: \((2;1)\), \((-2;-1)\), \(\left(\frac2{\sqrt3};-\frac1{\sqrt3}\right)\), \(\left(-\frac2{\sqrt3};\frac1{\sqrt3}\right)\).