5. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, BM:MC = 4:3. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 28 см.

Решение:

Так как $$BC = 28$$ см и $$BM:MC = 4:3$$, то:

• $$BM = \frac{4}{4+3} \times 28 = \frac{4}{7} \times 28 = 16$$ см.
• $$MC = \frac{3}{4+3} \times 28 = \frac{3}{7} \times 28 = 12$$ см.

DM — биссектриса угла D. Следовательно, $$\angle ADM = \angle CDM$$.

Так как $$AD \parallel BC$$ (ABCD — параллелограмм), то $$\angle ADM = \angle DMC$$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DM).

Из равенства $$\angle CDM = \angle DMC$$ следует, что треугольник $$CDM$$ — равнобедренный, и $$CD = MC$$.

Так как $$MC = 12$$ см, то $$CD = 12$$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $$AB = CD = 12$$ см и $$AD = BC = 28$$ см.

Периметр параллелограмма равен:

• \[ P = 2(AB + BC) \]
• \[ P = 2(12 + 28) \]
• \[ P = 2(40) \]
• \[ P = 80 \]

Ответ: 80 см.