6. Через середину К гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке D, а другая - катет ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если AB = 12 см.

Решение:

Пусть ABC — прямоугольный треугольник, $$\angle C = 90°$$. K — середина гипотенузы AB.

DK $$\parallel$$ BC (по условию).

Так как DK $$\parallel$$ BC, то по теореме Фалеса (или следствию из нее), если прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от них пропорциональные отрезки.

Поскольку K — середина AB, то $$AK = KB$$.

DK — средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AB и AC.

Следовательно, $$DK = \frac{1}{2} BC$$ и $$DK \parallel BC$$.

Аналогично, KE $$\parallel$$ AC.

Поскольку KE $$\parallel$$ AC, то по теореме Фалеса, K — середина AB, то E — середина BC.

KE — средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AB и BC.

Следовательно, $$KE = \frac{1}{2} AC$$ и $$KE \parallel AC$$.

Рассмотрим четырехугольник CDKE. У него стороны DK $$\parallel$$ CE (так как DK $$\parallel$$ BC) и KE $$\parallel$$ CD (так как KE $$\parallel$$ AC). Следовательно, CDKE — параллелограмм.

Так как $$\angle C = 90°$$, то параллелограмм CDKE является прямоугольником.

В прямоугольнике диагонали равны, следовательно, $$DE = CK$$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

CK — медиана, проведенная к гипотенузе AB.

Следовательно, $$CK = \frac{1}{2} AB$$.

По условию $$AB = 12$$ см.

$$CK = \frac{1}{2} \times 12 = 6$$ см.

Так как $$DE = CK$$, то $$DE = 6$$ см.

Ответ: 6 см.