5. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=34.

Обозначим \(AB=x\), \(BC=AD=y=34\). Пусть биссектрисы пересекаются в точке P на BC.

Из теоремы о биссектрисе в треугольнике ABD:

\(\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AD}=\frac{x}{y}\).

Поэтому, если \(BP=t\cdot BC\), то:

\(t=\frac{x}{x+y}\).

Рассмотрим биссектрису угла D. Из условия её пересечения с BC получается:

\(t=1-\frac{x}{y}\).

Приравниваем два выражения:

\[\frac{x}{x+y}=1-\frac{x}{y}.\]

После преобразования:

\(xy=y^2-x^2\), откуда \(x^2+xy-y^2=0\).

Положительный корень даёт:

\(\frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt5}{2}\), поэтому

\[x=\frac{2y}{1+\sqrt5}=y(\sqrt5-1).\]

При \(y=34\):

\[AB=34(\sqrt5-1)=17(\sqrt5-1).\]

Ответ: \(17(\sqrt5-1)\).