5. Боковая сторона равнобедренной трапеции образует с основанием угол 60°, а высота трапеции равна 6√3 см. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Опустим высоты из концов меньшего основания. В образовавшемся прямоугольном треугольнике боковая сторона трапеции — гипотенуза, а высота — катет напротив угла 60°.

Боковая сторона равна \(6\sqrt3: \sin60°=6\sqrt3:(\sqrt3/2)=12\) см. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(12\cos60°=6\) см, поэтому разность оснований составляет \(6+6=12\) см.

Если в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Значит, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон: \(12+12=24\) см.

Площадь трапеции: \(S=\frac{a+b}{2}h=\frac{24}{2}\cdot6\sqrt3=72\sqrt3\) см².

Ответ: 72√3 см².