5. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми AD₁ и BD. Ответ дайте в градусах.

Пусть ребро куба равно a. Зададим координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), D(0, a, 0), D₁(0, a, a).

Направляющие векторы прямых можно взять такими: \(\overrightarrow{AD_1}=(0,a,a)\), \(\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)\).

Их скалярное произведение равно \(a^2\), а длины обеих векторов — \(a\sqrt{2}\). Поэтому \(\cos\alpha=\frac{a^2}{2a^2}=\frac12\), откуда \(\alpha=60°\).

Ответ: 60°.