5. Дан прямоугольник ABCD, O — точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B и O лежат в плоскости α. а) Докажите, что точки C и D также лежат в плоскости α. б) Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см, ∠AOB = 60°.

а) В прямоугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому O — середина диагонали AC и диагонали BD.

Так как A и O лежат в плоскости α, прямая AO лежит в α. Точка C лежит на этой прямой, следовательно, C ∈ α.

Точки B и O лежат в плоскости α, поэтому прямая BO лежит в α. Точка D лежит на этой прямой, следовательно, D ∈ α.

б) Диагонали прямоугольника делятся точкой O пополам:

\(AO=BO=\frac{AC}{2}=4\) см.

В треугольнике AOB угол AOB равен 60°, а AO = BO = 4 см. Поэтому треугольник AOB равносторонний и

\(AB=4\) см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

\(BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\) см.

Площадь прямоугольника:

\(S=AB\cdot BC=4\cdot4\sqrt3=16\sqrt3\) см².

Ответ: а) C и D лежат в плоскости α; б) \(S=16\sqrt3\) см².