6. Дан параллелограмм ABCD, O — точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки C, D и O лежат в плоскости α. Докажите, что точки A и B также лежат в плоскости α. Вычислите площадь параллелограмма, если AD = 3 см, CD = 4 см, ∠ADC = 60°.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому O — середина диагонали AC и диагонали BD.

Так как C и O лежат в плоскости α, прямая CO лежит в α. Точка A лежит на этой прямой, следовательно, A ∈ α.

Так как D и O лежат в плоскости α, прямая DO лежит в α. Точка B лежит на этой прямой, следовательно, B ∈ α.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус угла между ними. В параллелограмме AB = CD = 4 см, поэтому

\[S=AD\cdot CD\cdot\sin\angle ADC=3\cdot4\cdot\sin60^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\text{ см}^2.\]

Ответ: A и B лежат в плоскости α; \(S=6\sqrt3\) см².