5. Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого ∠D-прямой, катет AD=3 см и ∠DAC=30°. Найдите: а) остальные стороны AADC б) площадь ДAADC в) длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ADC, где \( \angle D = 90^{\circ} \), \( AD = 3 \) см, \( \angle DAC = 30^{\circ} \).

а) Остальные стороны ΔADC

Найдем сторону CD (катет, противолежащий углу 30°).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Однако, мы знаем прилежащий катет.

Используем тангенс угла DAC:

\( \tan(\angle DAC) = \frac{CD}{AD} \)

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{CD}{3 \text{ см}} \)

\( CD = 3 \text{ см} \cdot \tan(30^{\circ}) \)

\( CD = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) см.

Теперь найдем гипотенузу AC, используя косинус угла DAC:

\( \cos(\angle DAC) = \frac{AD}{AC} \)

\( \cos(30^{\circ}) = \frac{3 \text{ см}}{AC} \)

\( AC = \frac{3 \text{ см}}{\cos(30^{\circ})} \)

\( AC = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \) см.

Проверка по теореме Пифагора: \( AD^2 + CD^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12 \). \( AC^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \). Теорема Пифагора выполняется.

б) Площадь ΔADC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot \sqrt{3} \text{ см} \)

\( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см².

в) Длину высоты, проведенной к гипотенузе

Пусть \( h \) — высота, проведенная к гипотенузе AC. Площадь треугольника также можно выразить как \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \).

Приравниваем два выражения для площади:

\( \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \)

\( AD \cdot CD = AC \cdot h \)

\( h = \frac{AD \cdot CD}{AC} \)

\( h = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \)

\( h = \frac{3}{2} = 1.5 \) см.

Ответ: а) Остальные стороны: CD = \(\sqrt{3}\) см, AC = \(2\sqrt{3}\) см. б) Площадь: \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) см². в) Высота, проведенная к гипотенузе: 1.5 см.