5. Дано: ABCD — параллелограмм. На рисунке проведены биссектрисы его углов; M, N, P, K — последовательные вершины образованного ими четырёхугольника. Доказать: MNPK — прямоугольник.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому их биссектрисы параллельны. Следовательно, \(MN\parallel PK\) и \(NP\parallel MK\), то есть MNPK — параллелограмм.

Соседние углы параллелограмма ABCD в сумме составляют \(180^\circ\). Биссектрисы таких углов образуют угол \(90^\circ\), поэтому один из углов MNPK прямой. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.