9. Дано: ABCD — квадрат; точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, AD; AB₁ = BA₁ = DC₁ = CD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.

Обозначим сторону квадрата через \(a\), а общую длину отмеченных отрезков — через \(x\). Зададим координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,a)\), \(C(a,a)\), \(D(a,0)\). Тогда \(A_1(0,a-x)\), \(B_1(x,a)\), \(C_1(a,x)\), \(D_1(a-x,0)\).

Соседние стороны имеют векторы \(\overrightarrow{A_1B_1}=(x,x)\) и \(\overrightarrow{B_1C_1}=(a-x,x-a)\). Их скалярное произведение равно \(x(a-x)+x(x-a)=0\), следовательно, эти стороны перпендикулярны. Кроме того, \(\overrightarrow{A_1B_1}=-\overrightarrow{C_1D_1}\) и \(\overrightarrow{B_1C_1}=-\overrightarrow{D_1A_1}\), поэтому A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.