8. Дано: ABCD — квадрат; точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, AD; AB₁ = BC₁ = CD₁ = DA₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — квадрат.

Обозначим сторону квадрата через \(a\), а общую длину отмеченных отрезков — через \(x\). Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,a)\), \(C(a,a)\), \(D(a,0)\). Тогда \(A_1(0,x)\), \(B_1(x,a)\), \(C_1(a,a-x)\), \(D_1(a-x,0)\).

Векторы соседних сторон внутреннего четырёхугольника:

\(\overrightarrow{A_1B_1}=(x,a-x)\), \(\overrightarrow{B_1C_1}=(a-x,-x)\).

Их скалярное произведение равно \(x(a-x)-(a-x)x=0\), значит, стороны перпендикулярны. Длины этих сторон равны, поскольку обе имеют квадрат длины \(x^2+(a-x)^2\). По той же симметрии все четыре стороны равны. Следовательно, A₁B₁C₁D₁ — квадрат.

Что и требовалось доказать.