7. Дано: ABCD — квадрат; точки E и F лежат на диагонали AC; AE = FC. Доказать: BFDE — ромб.

Диагональ AC квадрата проходит через его центр O, причём O — середина AC. Обозначим \(AE=FC=x\). Тогда точки E и F симметричны относительно O: действительно, \(OE=OF\), причём E и F лежат по разные стороны от O на одной прямой.

Центральная симметрия относительно O переводит B в D, а E в F. Поэтому отрезки BF и DE равны, как и отрезки BE и DF; кроме того, BFDE — параллелограмм.

В квадрате диагонали перпендикулярны, значит, \(AC\perp BD\). Диагонали параллелограмма BFDE — AC-отрезок EF и BD; они перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Что и требовалось доказать.