5. Дано распределение случайной величины \(Y\): значения \(-1, 1, 4\), вероятности \(0{,}3, 0{,}5, 0{,}2\). Вычислите дисперсию этой случайной величины. Сравните случайную величину \(Y\) со случайной величиной \(X\) из задания 3 а). Сравните дисперсии этих случайных величин.

Найдём математическое ожидание: \(M(Y)=(-1)\cdot0{,}3+1\cdot0{,}5+4\cdot0{,}2=1\).

Найдём ожидание квадрата: \(M(Y^2)=(-1)^2\cdot0{,}3+1^2\cdot0{,}5+4^2\cdot0{,}2=4\).

Тогда \(D(Y)=M(Y^2)-[M(Y)]^2=4-1^2=3\).

В задании 3 а) значения \(X\) равны \(-2,0,3\), а вероятности — \(0{,}3,0{,}5,0{,}2\). У \(Y\) значения \(-1,1,4\) имеют те же вероятности, но каждое значение на единицу больше соответствующего значения \(X\). Следовательно, \(Y=X+1\), и добавление константы не меняет дисперсию. Действительно, \(D(X)=3=D(Y)\).

Ответ: \(D(Y)=3\); случайные величины связаны равенством \(Y=X+1\), их дисперсии равны.