5. Даны векторы $\vec{p}=(-3;4)$, $\vec{d}=(2;2)$ и $\vec{q}=(8;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec{p}$ и $\vec{d}$; б) число $a$, если векторы $\vec{d}$ и $\vec{q}$ коллинеарны; в) число $a$, если векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ перпендикулярны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Даны векторы $\vec{p}=(-3;4)$, $\vec{d}=(2;2)$ и $\vec{q}=(8;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами…$ Фото задания

5. Даны векторы $\vec{p}=(-3;4)$, $\vec{d}=(2;2)$ и $\vec{q}=(8;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec{p}$ и $\vec{d}$; б) число $a$, если векторы $\vec{d}$ и $\vec{q}$ коллинеарны; в) число $a$, если векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ перпендикулярны.

Accepted Answer

а) Используем формулу $\cos\varphi=\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{d}}{|\vec{p}|\,|\vec{d}|}$. Скалярное произведение: $(-3)\cdot2+4\cdot2=2$. Длины: $|\vec{p}|=5$, $|\vec{d}|=2\sqrt2$. Значит, $\cos\varphi=\dfrac{2}{10\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{10}$.

б) Для коллинеарности координаты пропорциональны: $\dfrac{8}{2}=\dfrac{a}{2}$, откуда $a=8$.

в) Для перпендикулярности скалярное произведение равно нулю: $(-3)\cdot8+4a=0$. Тогда $4a=24$, поэтому $a=6$.

Ответ: а) $\dfrac{\sqrt2}{10}$; б) $a=8$; в) $a=6$.