6. Решите задачу векторным методом. Выполните рисунок. Дан треугольник с вершинами M (−2; 8), N (6; 2), K (2; −6). Найдите длину медианы [указание вершины обрезано].

Указание, из какой вершины проведена медиана, обрезано. Поэтому найдём длины всех трёх медиан.

Середина стороны \(NK\): \(A\left(\frac{6+2}{2};\frac{2-6}{2}\right)=(4;-2)\). Тогда \(\overrightarrow{MA}=(6;-10)\), и длина медианы из \(M\): \(\sqrt{6^2+(-10)^2}=2\sqrt{34}\).

Середина стороны \(MK\): \(B\left(\frac{-2+2}{2};\frac{8-6}{2}\right)=(0;1)\). Тогда \(\overrightarrow{NB}=(-6;-1)\), и длина медианы из \(N\): \(\sqrt{37}\).

Середина стороны \(MN\): \(C\left(\frac{-2+6}{2};\frac{8+2}{2}\right)=(2;5)\). Тогда \(\overrightarrow{KC}=(0;11)\), и длина медианы из \(K\): \(11\).

Ответ: медианы из M, N и K имеют длины соответственно \(2\sqrt{34}\), \(\sqrt{37}\) и \(11\).