5. Даны векторы $\vec p=(-6;2)$, $\vec d=(3;3)$ и $\vec q=(9;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec p$ и $\vec d$; б) число a, если векторы $\vec d$ и $\vec q$ коллинеарны; в) число a, если векторы $\vec p$ и $\vec q$ перпендикулярны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Даны векторы $\vec p=(-6;2)$, $\vec d=(3;3)$ и $\vec q=(9;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec p$ и…$ Фото задания

5. Даны векторы $\vec p=(-6;2)$, $\vec d=(3;3)$ и $\vec q=(9;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec p$ и $\vec d$; б) число a, если векторы $\vec d$ и $\vec q$ коллинеарны; в) число a, если векторы $\vec p$ и $\vec q$ перпендикулярны.

Accepted Answer

а) Используем формулу косинуса угла между векторами:

$\cos\varphi=\frac{\vec p\cdot\vec d}{|\vec p||\vec d|}$.

$\vec p\cdot\vec d=(-6)\cdot3+2\cdot3=-12$, $|\vec p|=\sqrt{40}$, $|\vec d|=\sqrt{18}$. Поэтому $\cos\varphi=\frac{-12}{\sqrt{40}\sqrt{18}}=-\frac{1}{\sqrt5}$.

б) Для коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{9}{3}=\frac{a}{3}$. Отсюда $3=\frac a3$, значит, $a=9$.

в) Перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение:

$\vec p\cdot\vec q=(-6)\cdot9+2a=0$, откуда $-54+2a=0$ и $a=27$.

Ответ: а) $-\frac{1}{\sqrt5}$; б) $a=9$; в) $a=27$.