5. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина её средней линии равна 10. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Обозначим основания трапеции через a и b, а расстояние между ними — через h. Расположим нижнее основание от (0, 0) до (a, 0), а верхнее — от (x, h) до (x + b, h).

Средняя линия равна (a + b)/2 = 10. Пусть m = x + (b − a)/2 — горизонтальное смещение между серединами оснований. Горизонтальные составляющие диагоналей равны m + 10 и m − 10. Перпендикулярность диагоналей даёт h² = (m + 10)(10 − m) = 100 − m².

Искомое расстояние между серединами оснований равно √(m² + h²) = √100 = 10.

Ответ: 10.