5. Докажите, что числа 308 и 585 — взаимно простые.

Пояснение:

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у них нет общих простых множителей.

Решение:

1. Шаг 1: Разложим число 308 на простые множители.
   • 308 ÷ 2 = 154
   • 154 ÷ 2 = 77
   • 77 ÷ 7 = 11
   • 11 ÷ 11 = 1
   • Таким образом, 308 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11 = 2² ⋅ 7 ⋅ 11.
2. Шаг 2: Разложим число 585 на простые множители.
   • 585 ÷ 3 = 195 (5+8+5=18, делится на 3)
   • 195 ÷ 3 = 65
   • 65 ÷ 5 = 13
   • 13 ÷ 13 = 1
   • Таким образом, 585 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 13 = 3² ⋅ 5 ⋅ 13.
3. Шаг 3: Сравним простые множители обоих чисел.
   • Множители 308: {2, 7, 11}
   • Множители 585: {3, 5, 13}
4. Шаг 4: У чисел 308 и 585 нет общих простых множителей.

Вывод: Так как у чисел 308 и 585 нет общих простых множителей, их наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, числа 308 и 585 являются взаимно простыми.