5. Докажите, что числа 308 и 585 — взаимно простые.

Краткое пояснение:

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что числа 308 и 585 взаимно простые, нужно найти их НОД и показать, что он равен 1.

Пошаговое решение:

1. Разложим число 308 на простые множители:
   • \( 308 = 2 \cdot 154 \)
   • \( 154 = 2 \cdot 77 \)
   • \( 77 = 7 \cdot 11 \)
   • Таким образом, \( 308 = 2^2 \cdot 7 \cdot 11 \)
2. Разложим число 585 на простые множители:
   • Число 585 оканчивается на 5, значит, делится на 5: \( 585 = 5 \cdot 117 \)
   • Проверим делимость 117 на 3: \( 1 + 1 + 7 = 9 \), 9 делится на 3, значит, 117 делится на 3: \( 117 = 3 \cdot 39 \)
   • \( 39 = 3 \cdot 13 \)
   • Таким образом, \( 585 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13 \)
3. Сравним простые множители обоих чисел:
   • Множители 308: 2, 7, 11
   • Множители 585: 3, 5, 13
4. Найдем наибольший общий делитель (НОД):
   • У чисел 308 и 585 нет общих простых множителей.
   • Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

Вывод: Так как НОД(308, 585) = 1, числа 308 и 585 являются взаимно простыми.