7. Туристы, отправляясь в поход, планировали пройти весь маршрут за 12 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Однако им удалось пройти весь маршрут за 9 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Какова длина всего маршрута, если известно, что она больше 100 км, но меньше 120 км?

Краткое пояснение:

Длина всего маршрута должна быть таким числом, которое делится без остатка как на 12 (планируемое количество дней), так и на 9 (фактическое количество дней). То есть, длина маршрута является общим кратным для чисел 12 и 9. Кроме того, длина маршрута находится в заданном интервале.

Пошаговое решение:

1. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 9:
   • Разложим 12 на простые множители: \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
   • Разложим 9 на простые множители: \( 9 = 3^2 \)
   • НОК(12, 9) = \( 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \)
2. Определим возможные длины маршрута:
   Любое кратное НОК(12, 9) будет являться общим кратным для 12 и 9. Список кратных 36:
   • \( 36 \cdot 1 = 36 \)
   • \( 36 \cdot 2 = 72 \)
   • \( 36 \cdot 3 = 108 \)
   • \( 36 \cdot 4 = 144 \)
   • ...
3. Выберем длину маршрута из заданного интервала:
   Из списка кратных 36, только число 108 находится в диапазоне от 100 км до 120 км (то есть \( 100 < ext{длина маршрута} < 120 \)).

Ответ: Длина всего маршрута составляет 108 км.