7. Туристы, отправляясь в поход, планировали пройти весь маршрут за 12 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Однако им удалось пройти весь маршрут за 9 дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Какова длина всего маршрута, если известно, что она больше 100 км, но меньше 120 км?

Пояснение:

Длина всего маршрута должна быть таким числом, которое делится без остатка как на 12 (планируемое время), так и на 9 (фактическое время). То есть, искомая длина маршрута является общим кратным чисел 12 и 9. Нам нужно найти такое общее кратное, которое находится в заданном диапазоне (больше 100 км, но меньше 120 км).

Решение:

1. Шаг 1: Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 9.
   • Разложим 12 на простые множители: 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2² ⋅ 3.
   • Разложим 9 на простые множители: 9 = 3 ⋅ 3 = 3².
   • НОК(12, 9) = 2² ⋅ 3² = 4 ⋅ 9 = 36.
2. Шаг 2: Найдем все общие кратные чисел 12 и 9. Общие кратные — это числа, кратные НОК.
   • 36 ⋅ 1 = 36
   • 36 ⋅ 2 = 72
   • 36 ⋅ 3 = 108
   • 36 ⋅ 4 = 144
3. Шаг 3: Выберем из полученных кратных число, которое больше 100 км и меньше 120 км.
   • 36 — не подходит.
   • 72 — не подходит.
   • 108 — подходит (100 < 108 < 120).
   • 144 — не подходит.

Ответ: Длина всего маршрута составляет 108 км.