5. Докажите, что $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}$, где $AA_1, BB_1, CC_1$ — медианы треугольника ABC.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}$, где $AA_1, BB_1, CC_1$ —…$ Фото задания

5. Докажите, что $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}$, где $AA_1, BB_1, CC_1$ — медианы треугольника ABC.

Accepted Answer

Пусть точка O — начало отсчёта, а радиус-векторы вершин обозначены $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

Так как $A_1$ — середина BC, $\overrightarrow{OA_1}=\frac12(\vec{b}+\vec{c})$, поэтому $\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}$.
Аналогично, $\overrightarrow{BB_1}=\frac12(\vec{c}+\vec{a})-\vec{b}$ и $\overrightarrow{CC_1}=\frac12(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}$.
Складывая выражения, получаем $\frac12[2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})]- (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\vec{0}$.

Следовательно, $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}$.

5. Докажите, что \(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}\), где \(AA_1, BB_1, CC_1\) — медианы треугольника ABC.

Ответ: