9. На окружности с центром O постройте такие точки a, b, c, что: а) \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}\); б) \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\); в) \(|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OC}|\).

Пусть радиус окружности равен R.

а) Из \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}\) следует, что радиус-векторы A и B противоположны. Возьмите любые две диаметрально противоположные точки окружности.

б) Выберите на окружности точку C. Постройте точки A и B так, чтобы они были симметричны относительно прямой OC и угол AOB был равен 120°. Тогда компоненты \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\), перпендикулярные OC, взаимно уничтожаются, а сумма проекций на OC равна \(2R\cos60^\circ=R\). Значит, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\).

в) \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\), поэтому требуется \(AB=OC=R\). Выберите на окружности любые A и B, стягивающие центральный угол 60°; тогда хорда AB равна R. Точку C можно выбрать произвольно на окружности.