7. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точка E лежит на стороне CD так, что DE : EC = 2 : 5. Выразите вектор \(\overrightarrow{OE}\) через векторы \(\vec{x}=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec{y}=\overrightarrow{AD}\).

Возьмём A за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы B, D, C равны соответственно \(\vec{x}\), \(\vec{y}\), \(\vec{x}+\vec{y}\).

1. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec{x}+\vec{y})\).
2. Из отношения \(DE:EC=2:5\) следует \(\overrightarrow{DE}=\frac27\overrightarrow{DC}=\frac27\vec{x}\). Поэтому \(\overrightarrow{AE}=\vec{y}+\frac27\vec{x}\).
3. Вычитаем радиус-векторы O и E: \(\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AO}=\vec{y}+\frac27\vec{x}-\frac12(\vec{x}+\vec{y})\).

Ответ: \(\overrightarrow{OE}=-\frac{3}{14}\vec{x}+\frac12\vec{y}\).